Sifat dan Teorema pada bilangan

Sifat

1. Jika a dan b ∈ R, maka (a + b) ∈ R [sifat tertutup pada operasi penjumlahan].
2. Jika a, b dan c ∈ R, maka a + (b + c) = (a + b) + c [sifat assosiatif penjumlahan].
3. ∃!0 ∈ R sehingga a + 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ R [unsure identitas penjumlahan].
4. ∀ a ∈ R, ∃! -a ∈ R, yaitu negative a, sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0 [unsure invers dari operasi penjumlahan].
5. Jika (a + b) ∈ R, maka a + b = b + a [sifat komutatif penjumlahan].
6. Jika a dan b ∈ R, maka ab ∈ R [sifat tertutup pada operasi perkalian].
7. Jika a, b dan c ∈ R, maka a(bc) = (ab)c [sifat assosiatif perkalian].
8. ∃!1 ∈ R sehingga a.1 = 1.a = a, ∀ a ∈ R [unsure identitas perkalian].
9. ∀ a ∈ R dan a≠0, ∃! a^- ∈ R, sehingga aa^- = a^-a = 1 [unsure invers dari operasi perkalian].
10. Jika (ab) ∈ R, maka ab = ba [sifat komutatif perkalian].
11. Jika a, b dan c ∈ R, maka a(b + c) = ab + ac [sifat distributive operasi perkalian terhadap penjumlahan].
12. a = a [sifat refleksif]
13. Jika a = b, maka b = a [sifat simetri]
14. Jika a = b dan b = c, maka a = c [sifat transitif]
15. Jika a = b dan c = d, maka a + c = b + d
16. Jika a = b dan c = d, maka a – c = b – d
17. Jika a = b dan c = d, maka ac = bd
18. Jika a = b dan c = d, maka a/ c = b/d dengan c dan d ≠ 0
19. Dari sebarang dua bilangan real a dan b, ada tepat satu relasi a < b, a = b, a > b adalah benar [sifat eksistensi dan ketunggalan dari urutan]
20. Jika a, b dan c bilangan-bilangan positif dan a = b + c, maka a > b dan a > c
21. Jika a < b, maka untuk setiap c berlaku a + c < b + c
22. Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0
23. Jika a > b dan b > c, maka a > c
24. Misalkan M dan e dua bilangan positif, maka terdapat bilangan bulat positif n sehingga ne > M [sifat Archimedes]
25. Setiap bilangan positif memiliki sebuah akar kuadrat, yaitu setiap a > 0 maka memiliki √a [sifat kelengkapan Euclid]

Teorema

1. ∀ a ∈ R, berlaku a0 = 0
2. Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0
3. Bilangan 0 tidak memiliki invers
4. Jika a + b = a + c, maka b = c [hukum kanselasi atau penghapusan penjumlahan]
5. Jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c [hukum kanselasi atau penghapusan perkalian]
6. ∀ a ∈ R, berlaku –(–a) = a
7. ∀ a dan b ∈ R, berlaku (–a)b = –(ab)
8. ∀ a dan b ∈ R, berlaku (–a)(–b) = ab
9. ∀ a dan b ≠ 0, berlaku (ab)^-1 = a^-1b^-1
10. ∀ a dan b ∈ R, berlaku –(a + b) = (–a) + (–b)
11. Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
12. a < b jika dan hanya jika b – a > 0
13. a < b dan c > 0, maka ac < bc
14. Jika a > 0, maka –a < 0
15. Jika a < 0, maka –a > 0
16. Jika a < bdan c < 0, maka ac > bc