Penemuan-penemuan Fermat

1. jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relative prima dengan m, maka habis dibagi m.
Misalnya m = 5 dan p = 4 (4 dan 5 adalah relative prima) maka habis dibagi 5. Teorema ini tanpa bukti dikirimkan Fermat pada suratnya kepada Frenicle de Bessy tertanggal 18 oktober 1640. Teorema ini kemudian dikenal sebagai teorema kecil dari Fermat. Buktinya diberika Euler pada tahun 1736.
  
2. Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara.
Bukti.
Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka

Bukti yang diberikannya itu amat sangat sederhana. Bukti itu dapat diusut.
Sebut , maka
Karena p prima, maka faktornya hanyalah dan
Sehingga dan
  
3. Suatu bilangan prima dalam bentuk dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat. Misalnya , Teorema ini diberikan Fermat pada suratnya kepada Marsenne tertanggal 25 desember 1640. Buktinya pertama kali diberikan oleh Euler pada tahun 1754.
  
4. Bilangan prima hanya terjadi satu kali sebagai hipotenusa segitiga siku-siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa, dan seterusnya. Contoh : maka (satu kali). maka (dua kali).
  
5. Tiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat atau kurang bilangan kuadrat. Teorema yang sukar ini dibuktikan oleh Lagragne pada tahun 1770.
   
6. Luas daerah suatu segitiga siku-siku yang sisi-sisinya terdiri dari bilangan bulat tidak mungkin suatu bilangan kuadrat. Teorema ini juga dibuktikan oleh Lagragne.
  
7. Terdapat hanya satu bilangan bulat sebagai penyelesaian dari . Dan hanya ada dua bilangan bulat sebagai penyelesaian dari
Soal ini dikemukakan Fermat sebagai tantangan kepada ahli matematika Inggris. Penyelesaiannya x = 5 dan y = 3 pada persamaan pertama. x = 2 dan y = 2 atau x = 1 dan y = 5 untuk persamaan kedua.
  
8. Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y dan z, sehingga
  
9. Tidak terdapat bilangan bulat positif x, y dan z, sehingga jika
Terkaan terkenal ini dikenal sebagai teorema terakhir dari Fermat. Dijelaskan Fermat pada catatan pinggir dari kopi terjemahan Bachet dari buku Arithmetika dari Diophantus pada soal 8 buku II, yaitu memisah suatu bilangan kuadrat atas dua bilangan kuadrat. Kemudian memisah suatu bilangan pangkat tiga atas dua bilangan pangkat tiga dan seterusnya. Tetapi memisah lebih dari dua tidak mungkin. Fermat membuktikan soal itu untuk n = 4, Euler memberikan bukti untuk n = 3. Ahli-ahli matematika kemudian membuktikan teorema itu. pada tahun 1825, sendiri-sendiri Drichlet dan Legendre membuktikan untuk n = 5. Pada tahun 1839, Lame membuktikan untuk n = 7.
E. Kummer (1810 – 1893), pada tahun 1843 menyampaikan suatu bukti kepada Drichlet bahwa terdapat kesalahan pada bukti yang diberikan oleh Drichlet tersebut. Setelah Kummer memperdalam matematika dalam aljabar tinggi mengenai teori ideals yang membahas syarat-syarat umum agar suatu persamaan dapat diselesaikan, maka teorema terakhir Fermat itu dibahasnya lagi. Dan kummer menemukan pengembangan penting dari teorema itu.
Pada tahun 1908, P. Wolfskehl seorang ahli matematika Jerman mewariskan 100.000 mark Jerman kepada Akademi Ilmu Pengetahuan Gottingen untuk dihadiahkan kepada orang pertama yang dapat memberikan bukti lengkap dari teorema Fermat tersebut. Setelah penemuan computer, pada tahun 1955, dibuktikan bahwa teorema terakhir dari Fermat itu benar untuk