Matematika: Bukti Theorema-theorema Bilangan

Teorema. $\forall a \in R$ , berlaku $a.0=0$
Bukti.
Menurut sifat identitas penjumlahan berlaku $1=1+0$ . Akibatnya, $a.1=a.(1+0)$ .
Jadi,
$a=a.1+a.0$ [sifat distributif]
$(-a)+a=(-a)+(a+a.0)$
$0=0+a.0$
$0=a.0$

Teorema. Bilangan 0 tidak memiliki invers perkalian
Bukti.
Dari teorema di atas berlaku $0a=0$ untuk setiap a. padahal bila 0 mempunyai invers berarti $0a=1$ untuk suatu a, akibatnya $0=1$ . Hal ini tidak mungkin terjadi dalam bilangan real, sehingga haruslah pernyataan 0 tidak mempunyai invers merupakan pernyataan yang benar.

Teorema. Jika $ab=ac$ dan $a \ne 0$ , maka $b = c$
Bukti.
Diketahui $ab = ac$ dan $a \ne 0$ , artinya a mempunyai invers. Sehingga dapat dituliskan,
$a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac)$
$(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c$
$1b = 1c$
$b = c$

Teorema. $\forall a$ dan $b \in R$ , berlaku $(-a)b = -(ab)$
Bukti.
Kita tunjukkan bahwa $(-a)b$ adalah negative dari $(ab)$ , artinya
$(-a)b + ab = ab + (-a)b = 0$
Menurut hukum distributif,
$(-a)b + ab = (-a + a)b = 0b = 0$
Jadi, $(-a)b = -(ab)$

Teorema. $\forall a$ dan $b \in R$ , berlaku $-(a + b) = (-a) + (-b)$
Bukti.
Kita buktikan bahwa $[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$ seperti berikut,
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = [(-a) + (-b)] + (a + b)$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + (-b) + b + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + 0 + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = (-a) + a$
$[(-a) + (-b)] + (a + b) = 0$

Teorema. $a < b$ jika dan hanya jika $b - a > 0$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka menurut sifat pada bilangan berlaku $a - a < b - a$ . oleh karena itu didapatkan $0 < b - a$ . yang tidak lain yaitu $b - a > 0$ . Sebaliknya, jika $b - a > 0$ , maka $(b - a) + a > 0 + a$ . dan diperoleh $b > a$

Teorema. $a < b$ dan $c > 0$ , maka $ac < bc$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka $b - a > 0$ . Akibatnya, menurut sifat pada bilangan didapatkan $(b - a)c > 0.c$ . sama dengan $(b - a)c > 0$ . Sehingga $bc - ac > 0$ . Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $ac < bc$

Teorema. Jika $a < 0$ , maka $-a > 0$
Bukti.
$a < 0$ maka $a - a < 0 - a$ . diperoleh $0 < -a$ . Sama dengan $-a > 0$

Teorema. Jika $a > 0$ , maka $-a < 0$
Bukti.
$a > 0$ maka $a - a > 0 - a$ . diperoleh $0 > -a$ . Sama dengan $-a < 0$

Teorema. $a < b$ dan $c < 0$ , maka $ac > bc$
Bukti.
Jika $a < b$ , maka $b - a > 0$ . Padahal $c < 0$ . Maka $c - c < 0 - c$ . maka $-c > 0$ . Akibatnya didapatkan $-bc + ac > 0$ . Jadi menurut teorema sebelumnya, diperoleh $ac > bc$

Laman

Kamis, 01 Maret 2012

Bukti Theorema-theorema Bilangan

Tidak ada komentar:

Posting Komentar